Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實(shí)根之和為（　�。�

• A、-5
• B、-6
• C、-7
• D、-8

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，由圖象讀出即可．

解答： 解：∵f（x）=

x2+2，    x∈[0，1) 2-x2，     x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=

x2，     x-2∈[0，1)  -x2，   x-2∈[-1，0)

；
又g（x）=

2x+5

x+2

，
∴g（x）=2+

1

x+2

，
∴g（x-2）-2=

1

x

，
當(dāng)x≠2k-1，k∈Z時(shí)，
上述兩個(gè)函數(shù)都是關(guān)于（-2，2）對(duì)稱，；
由圖象可得：方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的實(shí)根有3個(gè)，
x₁=-3，x₂滿足-5＜x₂＜-4，x₃滿足0＜x₃＜1，x₂+x₃=-4；
∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實(shí)根之和為-7．
故答案為；C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)．