Question

通常把大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱為可入肺顆粒物）稱為PM2.5．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，空氣質(zhì)量與PM2.5的關(guān)系如下表：

空氣質(zhì)量	一級(jí)	二級(jí)	超標(biāo)
日均值（微克/立方米）	35以下	35～75	75以上

某城市環(huán)保局從該市城區(qū)2012年冬季每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（1）從這15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，求至少有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天的數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用莖葉圖結(jié)合對(duì)立事件的概率公式能求出隨機(jī)抽出三天，至少有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率．
（2）ξ的可能值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答： 解：（1）從莖葉圖可知，空氣質(zhì)量為一級(jí)的有4天，為二級(jí)的有6天，超標(biāo)的有5天，
記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，至少有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，
則P（A）=1-

C 3 11

C 3 15

=

58

91

．
（2）ξ的可能值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 10

C 3 15

=

24

91

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

，
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 10

C 3 15

=

20

91

，
P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 15

=

2

91

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	24 91	45 91	20 91	2 91

E（ξ）=

24

91

×0+

45

91

×1+

20

91

×2+

2

91

×3=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．