Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）討論函數(shù)的極值，并說明理由；

（Ⅲ）若有兩個極值點，，求證：函數(shù)有三個零點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，無極值；當時，存在一個極大值和一個極小值；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）利用得；利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，則；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值；當，可證得有兩根，即有兩根，從而可得函數(shù)的單調(diào)性，進而確定有一個極大值和一個極小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知且；利用和表示，代入函數(shù)中，可表示出和；根據(jù)和設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)可驗證出單調(diào)遞減，進而求得，，結(jié)合圖象可證得結(jié)論.

（Ⅰ）由得：

在上是增函數(shù) 在上恒成立

即：在上恒成立

設(shè)，則

當時，；當時，

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

即的取值范圍為：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當時，在上是增函數(shù)，此時無極值；

當時，令，即

時，；；時，

有兩個根，設(shè)兩根為，且

可知：和時，；時，

即在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

在處取得極大值；在處取得極小值

綜上所述：當時，無極值；當時，存在一個極大值和一個極小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，有兩個極值點，，則，且

；

又

令，則

則在上恒成立，即在上單調(diào)遞減

又 時，；時，

，

當時，；當時，

可得大致圖象如下：

有三個零點