Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=a，點A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，A₁D∩AC₁=M，BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）試問在線段AB是否存在一點N，使得MN∥平面BB₁C₁C，若存在，指出N點位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求點C₁到平面A₁ABB₁的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）存在，N點為AB一個靠近A點的三等分點，即AN=

1

3

AB，連結(jié)BC₁，證明MN∥BC₁即可；
（Ⅱ）利用VC1-A1AB=VC-A1AB=VA1-CAB，即可求出點C₁到平面A₁ABB₁的距離．

解答： 解：（Ⅰ）存在，N點為AB一個靠近A點的三等分點，即AN=

1

3

AB．
證明如下：連結(jié)BC₁，
∵AC∥A₁C₁，
∴

AM

MC1

=

AD

A1C1

=

1

2

=

AN

NB

∴MN∥BC₁，
又MN?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C．

（Ⅱ）由題意，A₁D⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴A₁D⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩AD=D₁，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
又AC₁?平面AA₁C₁C，
∴AC₁⊥BC，
又AC₁⊥BA₁，BA₁∩BC=B，
∴AC₁⊥平面A₁CB
又A₁C?平面A₁CB，A₁C⊥AC₁，
∴平行四邊形A₁C₁CA為菱形．
又A₁D⊥AC，D為AC的中點，
∴A₁A=A₁C=AC=BC=a
∵BC⊥平面AA₁C₁C，
∴∠BCA₁=∠BCA=90°，
∴A₁B=AB=

2

a
取AA₁中點H，則BH=

7

2

a．
∴S△AA1B=

7

4

a2，
設(shè)點C₁到平面A₁ABB₁的距離為h，
∵C₁C∥平面A₁ABB₁，
∴VC1-A1AB=VC-A1AB=VA1-CAB=

1

3

×

1

2

a2×

3

2

a=

1

3

×

7

4

a2h，
解得h=

21

7

a．
故C₁到平面A₁ABB₁的距離為

21

7

a．

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．