Question

已知關(guān)于x的一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0的解集為R，若a≤4，則

a2+2ab

a2+b2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的應(yīng)用

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：結(jié)合讓式子有意義的原則，及二次不等式恒成立的條件，可得到關(guān)于a，b的不等式組，畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，可將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運用：判斷單調(diào)性，再求最值即可得到．

解答： 解：若一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0
的解集為R，
則

a-2＞0 △=4(b-1)-4(a-2)＜0

即

a＞2 a-b＞1

，
又由a≤4，b≥1可得滿足條件的平面區(qū)域如下圖所示：
令k=

b

a

，
則k表示平面上一動點（a，b）與原點連線的斜率，
由圖可知k∈[

1

4

，

3

4

）
則

a2+2ab

a2+b2

=

1+2k

1+k2

，
∵f（k）=

1+2k

1+k2

的導(dǎo)數(shù)為f′（k）=

-2(k2+k-1)

(1+k2)2

，
由

-1- 5

2

＜k＜

-1+ 5

2

，f′（k）＞0，f（k）遞增；
當(dāng)k＞

-1+ 5

2

或k＜

-1- 5

2

時，f′（k）＜0，f（k）遞減．
則f（k）在[

1

4

，

-1+ 5

2

）遞增，在（

-1+ 5

2

，

3

4

）遞減，
則f（x）的最大值為f（

-1+ 5

2

）=

5 +1

2

，
由于f（

1

4

）=

24

17

，f（

3

4

）=

8

5

，則f（x）的最小值為

24

17

．
故

a2+2ab

a2+b2

的取值范圍是：[

24

17

，

5 +1

2

]
故答案為：[

24

17

，

5 +1

2

]．

點評：本題考查的知識點是二次不等式恒成立，線性規(guī)劃，斜率的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性的運用：求最值，綜合性強(qiáng)．