【題目】已知橢圓的左右頂點為,為橢圓上異于的動點,設直線的斜率分別為,且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)當橢圓內(nèi)切于圓時,設動直線與橢圓相交于兩點,為坐標原點,若,問:的面積是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在最小值為,理由見詳解.
【解析】
(1)設出點的坐標,根據(jù)斜率關(guān)系結(jié)合點在橢圓上,即可求得關(guān)系,則離心率得解;
(2)由橢圓和圓的位置關(guān)系,即可求得橢圓方程,設出直線的方程,根據(jù)向量關(guān)系,求得關(guān)系,再根據(jù)三角形面積公式,即可求得結(jié)果.
(1)不妨設的坐標為,則;
又,
則.
故可得,則;
(2)因為橢圓內(nèi)切于圓,故容易得,結(jié)合(1)中所求,
即可容易求得.
故可得橢圓方程為,
①若直線斜率不為零,不妨設其方程為,
聯(lián)立橢圓方程可得:
,
則,
整理得
設點的坐標為,
故可得
.
因為,故可得,
即可得,
則.結(jié)合,可得,
故.
又
故可得
將代入上式可得:
,令
則,
當且僅當時取得最小值.
②當直線的斜率為零時,設直線為,
聯(lián)立橢圓方程可得,
則容易知,
故,
令,
,顯然此時沒有最小值.
綜上所述,的面積存在最小值,最小值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設點是拋物線的焦點,、是上兩點.若,且線段的中點到軸的距離等于.
(1)求的值;
(2)設直線與交于、兩點且在軸的截距為負,過作的垂線,垂足為,若.
(i)證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標;
(ii)求點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為實現(xiàn)國民經(jīng)濟新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標,國家加大了扶貧攻堅的力度,某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率(脫貧的戶數(shù)占當年貧困戶總數(shù)的比)為70%,2015年開始全面實施“精準扶貧”政策后,扶貧效果明顯提高,其中2019年度實施的扶貧項目,各項目參加戶數(shù)占比(參加戶數(shù)占2019年貧困總戶數(shù)的比)及該項目的脫貧率見下表:
實施項目 | 種植業(yè) | 養(yǎng)殖業(yè) | 工廠就業(yè) |
參加占戶比 | 45% | 45% | 10% |
脫貧率 | 96% | 96% | 90% |
那么2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的( )倍.
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于定義域為的函數(shù),如果存在區(qū)間滿足是上的單調(diào)函數(shù),且在區(qū)間上的值域也為,則稱函數(shù)為區(qū)間上的“保值函數(shù)”,為“保值區(qū)間”.根據(jù)此定義給出下列命題:①函數(shù)是上的“保值函數(shù)”;②若函數(shù)是上的“保值函數(shù)”,則;③對于函數(shù)存在區(qū)間,且,使函數(shù)為上的“保值函數(shù)”.其中所有真命題的序號為( )
A.②B.③C.①③D.②③
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