【題目】設點是拋物線的焦點,、是上兩點.若,且線段的中點到軸的距離等于.
(1)求的值;
(2)設直線與交于、兩點且在軸的截距為負,過作的垂線,垂足為,若.
(i)證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標;
(ii)求點的軌跡方程.
【答案】(1)(2)(i)證明見解析;定點(ii)(且)
【解析】
(1)過和分別作軸的垂線,垂足分別為、,根據(jù)拋物線的定義得到,,利用建立p的方程,再根據(jù)線段的中點到軸的距離等于,有聯(lián)立求解.
(2)設的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,由得到,將韋達定理代入,解得,(i)直線恒過定點.(ii)由知,點在以為直徑的圓上,再根據(jù)和斜率存在確定范圍.
(1)過和分別作軸的垂線,垂足分別為、,則,,
因為線段的中點到軸的距離等于,
所以,即,
又因為,所以.
(2)由題意知直線的斜率存在,設的方程為,代入拋物線方程得,
由得,(*),
設,,則.
由得,,即,
把代入得,解得或(舍去),
(i)于是直線恒過定點.
(ii)由知,所以點在以為直徑的圓上,該圓的方程為,
根據(jù)(*)得,從而取圓在軸的上方部分,又直線的斜率存在,
因此應剔除與軸的交點,
故點的軌跡方程為(且).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)站舉行“衛(wèi)生防疫”的知識競賽網(wǎng)上答題,共有120000人通過該網(wǎng)站參加了這次競賽,為了解競賽成績情況,從中抽取了100人的成績進行統(tǒng)計,其中成績分組區(qū)間為,,,,,其頻率分布直方圖如圖所示,請你解答下列問題:
(1)求的值;
(2)成績不低于90分的人就能獲得積分獎勵,求所有參賽者中獲得獎勵的人數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這次知識競賽成績的平均分(用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在相同條件下各射擊次,每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示:
(1)請?zhí)顚懴卤恚ㄏ葘懗鲇嬎氵^程再填表):
平均數(shù) | 方差 | 命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù) | |
甲 | |||
乙 |
(2)從下列三個不同的角度對這次測試結(jié)果進行
①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績更穩(wěn)定);
②從平均數(shù)和命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些);
③從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看(分析誰更有潛力).
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為研究學生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校200名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”.
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表;
鍛煉不達標 | 鍛煉達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關(guān)?
(2)在“鍛煉達標”的學生中,按男女用分層抽樣方法抽出5人,進行體育鍛煉體會交流,從參加體會交流的5人中,隨機選出2人作重點發(fā)言,求恰好選出一名男生的概率.
參考公式:,其中
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列五個命題:
①已知直線、和平面,若,,則;
②平面上到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是一條拋物線;
③雙曲線,則直線與雙曲線有且只有一個公共點;
④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直;
⑤過的直線與橢圓交于、兩點,線段中點為,設直線斜率為,直線的斜率為,則等于.
其中,正確命題的序號為_______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右頂點為,為橢圓上異于的動點,設直線的斜率分別為,且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)當橢圓內(nèi)切于圓時,設動直線與橢圓相交于兩點,為坐標原點,若,問:的面積是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】科技創(chuàng)新能力是決定綜合國力和國際競爭力的關(guān)鍵因素,也是推動經(jīng)濟實現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展的重要支撐,而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障,下圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖:
其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當年總營收的百分比,條形圖是當年研發(fā)投入的數(shù)值(單位:十億元).
(I)從2010年至2019年中隨機選取一年,求該年研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過10%的概率;
(II)從2010年至2019年中隨機選取兩個年份,設X表示其中研發(fā)投入超過500億元的年份的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望;
(III)根據(jù)圖中的信息,結(jié)合統(tǒng)計學知識,判斷該公司在發(fā)展的過程中是否比較重視研發(fā),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說:數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中,常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì),也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征.如函數(shù)的圖象大致為( )
A.B.
C.D.
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