Question

已知函數(shù)f(x)=(log2x)2-2log

1

2

x+1，g(x)=x2-ax+1
（1）求函數(shù)y=f（2cosx-1）的定義域；
（2）若存在a∈R，對(duì)任意x1∈[

1

8

，2]，總存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零，列出關(guān)于x的不等關(guān)系，求解三角不等式，即可求得函數(shù)y=f（2cosx-1）的定義域；
（2）先求出f（x）的值域，根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且對(duì)任意y∈[0，4]，總存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀），進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，2]的位置關(guān)系進(jìn)行討論，從而得到答案．

解答：解：（1）由題意可得，2cosx-1＞0，解cosx＞

1

2

，解得2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈z，
∴函數(shù)y=f（2cosx-1）的定義域?yàn)閧x|2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈z}；
（2）f（x）=（log₂x）²-2log

1

2

x+1=（1+log₂x）²，
∵x∈[

1

8

，2]，
∴-3≤log₂x≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，4]，
∵存在a∈R，對(duì)任意x1∈[

1

8

，2]，總存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立，
∴[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且對(duì)任意y∈[0，4]，總存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀），
①當(dāng)

a

2

≤-1時(shí)，則有

g(-1)=a+2≤0 g(2)=5-2a≥4

，解得a≤-2；
②當(dāng)

a

2

≥2時(shí)，則有

g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a≤0

，解得a≥4；
③當(dāng)-1＜

a

2

＜2時(shí)，則

△＞0 g(-1)a+2≥4 g(2)=5-2a＜0

或

△＞0 g(-1)=a+2＜0 g(2)=5-2a≥4

，解得

5

2

＜a＜4．
綜上所述，a≤-2或a＞

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，以及利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題，涉及了利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域問題．屬于中檔題．