用適當(dāng)方法證明：
（1）已知：a＞0，b＞0，求證：
a
b
+
b
a
≥
a
+
b
；
（2）若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求證：
1+x
y
和
1+y
x
中至少有一個(gè)小于2．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）利用基本不等式即可證明；
（2）用反證法證明其否定不成立，以此來證明結(jié)論成立．
解答： 證明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴
a
b
+
b
≥2
a
，
b
a
+
a
≥2
b
，
∴
a
b
+
b
a
≥
a
+
b
；
（2）假設(shè)
1+x
y
和
1+y
x
都大于或等于2，
即
1+x
y
≥2且
1+y
x
≥2，
∵x，y∈R+，故可化為1+x≥2y且1+y≥2x，
兩式相加，得x+y≤2，
與已知x+y＞2矛盾．
∴假設(shè)不成立，即原命題成立．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些條件相對(duì)較少或者證明時(shí)需要分類討論的題型，最好試試用反證法能否證明問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
sinxcosx+2cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a1=1，a2n=2an+1（n∈N*），Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求an，Sn；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
（n∈N*），求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知偶函數(shù)y=f（x）滿足：當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x）
（Ⅰ）求f（x）表達(dá)式；
（Ⅱ）若直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）試討論當(dāng)實(shí)數(shù)a、m滿足什么條件時(shí)，直線y=m和函數(shù)y=f（x）的圖象恰有k個(gè)公共點(diǎn)（k≥3），
且這k個(gè)公共點(diǎn)均勻分布在直線y=m上．（不要求過程）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，f（4）=1
（1）求f（1）及f(
1
16
)；
（2）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的非常值函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）證明：f（0）=1；
（2）設(shè)A={（x，y）|f（x2）f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+m）=1}，若f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且A∩B=∅，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的不等式x2+bx+c＞0的解集為{x|x＜2或x＞3}，求關(guān)于x的不等式cx2+bx+1＜0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x=1是f（x）=2x+
b
x
+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知變量X的分布列P（X=k）=ak+b（k=1，2，3，4），又E（X）=3，則a+b=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案