Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAD．

（2）求三棱錐B-EFC的體積．

Answer 1

【答案】（）見(jiàn)解析；（）．

【解析】

（1）取PC的中點(diǎn)G，證明四邊形EFGA是平行四邊形，可得EF∥AG，證得EF∥平面PAD．
（2）取AD中點(diǎn)O，可證PO⊥底面ABCD，進(jìn)而得到點(diǎn)F到面ABCD距離，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐B-AEF的體積．

（1）證明：取PD中點(diǎn)G，連結(jié)GF、AG，

∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，

又EF面PAD，AG面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴F到面ABCD距離，

故.