Question

設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（-x）=f（2-x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=

x3

，又函數(shù)g（x）=|xcos（πx）|，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的解析式，求出函數(shù)f（x）、g（x）在x∈[0，

1

2

]，x∈[

1

2

，

3

2

]上的解析式，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)；
又∵f（-x）=f（2-x），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是周期為2的函數(shù)；
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=

x3

，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2-x∈[0，1]，
f（x）=f（-x）=f（2-x）=

(2-x)3

；
當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，g（x）=xcos（πx），
當(dāng)x∈[

1

2

，

3

2

]時(shí)，g（x）=-xcosπx；
∵函數(shù)f（x）、g（x）都是偶函數(shù)，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
g（

1

2

）=g（

3

2

）=0，
作出函數(shù)f（x）、g（x）的草圖，如圖所示：
函數(shù)h（x）除了0、1這兩個(gè)零點(diǎn)之外，
分別在區(qū)間[-

1

2

，0），（0，

1

2

），[

1

2

，1），（1，

3

2

]上各有一個(gè)零點(diǎn)，
共有6個(gè)零點(diǎn)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性與周期性，判斷函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，是基礎(chǔ)題目．