Question

已知菱形ABCD與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相切，則菱形ABCD面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：畫(huà)出圖形，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，菱形ABCD最小值轉(zhuǎn)化為三角形ABO面積的最小值，利用三角代換通過(guò)橢圓去切線方程，求出三角形的面積的表達(dá)式，然后求解即可．

解答： 解：因?yàn)闄E圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，所以菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸也是對(duì)稱(chēng)軸，如圖，要求菱形ABCD最小值，就是求解三角形abo的最小值，
設(shè)P（2cosθ，

3

sinθ），θ∈(0，

π

2

)，
則AB是方程為：

xcosθ

2

+

ysinθ

3

=1，
可得A（0，

3

sinθ

），B（

2

cosθ

，0）．
菱形ABCD的面積為：4×

1

2

×

3

sinθ

×

2

cosθ

=

8 3

sin2θ

，
∵θ∈(0，

π

2

)，
∴2θ∈（0，π），
∴

8 3

sin2θ

≥8

3

當(dāng)且僅當(dāng)θ=

π

4

，菱形ABCD面積的最小值為8

3

．
故答案為：8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的我最關(guān)心的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及三角代換的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．