Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD=CD=2AB=2，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，E為PC的中點(diǎn)，且DE=EC．
（1）求證：PA⊥面ABCD；
（2）設(shè)PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈（

π

4

，

π

3

），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，利用PA⊥AD，AD∩CD=D，可以證明PA⊥面ABCD；
（2）以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈（

π

4

，

π

3

），即可求a的取值范圍．

解答： （1）證明：∵E為PC的中點(diǎn)，DE=EC=PE
∴PD⊥DC，
∵CD⊥AD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵PA⊥AD，AD∩CD=D，
∴PA⊥面ABCD；…（6分）
（2）解：以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系，
B（1，0，0），D（0，2，0）P（0，0，a），C（2，2，0），E(1，1，

a

2

)…（7分）
平面BCD法向量

n1

=（0，0，1），平面EBD法向量

n2

=(2a，a，-2)…（9分）
cosθ=

2

5a2+4

∈(

1

2

，

2

2

)，可得a∈(

2 5

5

，

2 15

5

)…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的大小，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，該題訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．