Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且關(guān)于x的方程x²+

an

x+

1

2

（a_n-1+2^n-1）=0（n∈N^*，n≥2）有兩個(gè)相等的實(shí)根
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)判別式△=0，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列．
（2）根據(jù)數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，求出數(shù)列{

an

2n

}的通項(xiàng)公式即可．

解答： 解：（1）若關(guān)于x的方程x²+

an

x+

1

2

（a_n-1+2^n-1）=0（n∈N^*，n≥2）有兩個(gè)相等的實(shí)根，
則判別式△=（

an

）²-4×

1

2

（a_n-1+2^n-1）=0，
即a_n-2（a_n-1+2^n-1）=0，
即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
則

an

2n

=

2an-1

2n

+1=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
故數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，公差為1．
（2）∵數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為

a1

2

=

1

2

，
∴

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

，
則a_n=2ⁿ（n-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合判別式△=0，利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．