Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分別是線段A₁B和A₁B₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面MON∥平面B₁BCC₁
（Ⅱ）證明：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AB₁和B₁C，由已知條件推導(dǎo)出MO∥B₁C，由此能證明MN∥平面B₁BCC₁，從而平面MON∥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）由正方形性質(zhì)得BD⊥AC，由線面垂直得BD⊥CC₁，從而BD⊥平面A₁ACC₁，由此能證明平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)AB₁和B₁C，
∵M是BA₁的中點，∴M也是AB₁的中點，
∵O是AC的中點，∴MO∥B₁C，
∵MO不包含于平面B₁BCC₁，B₁C?平面B₁BCC₁，
∴MO∥平面B₁BCC₁，
又∵N是線段A₁B₁的中點，∴MN∥BB₁，
而MN不包含于平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，
∴MN∥平面B₁BCC₁，
又MN∩MO=M，∴平面MON∥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵CC₁⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥CC₁，
∵AC?平面A₁ACC₁，C₁C?平面A₁ACC₁，且AC∩C₁C=C，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

點評：本題考查平面與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．