Question

已知二次函數(shù)g（x）=mx²-2mx+n+1（m＞0）在區(qū)間[0，3]上有最大值4，最小值0．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=

g(x)-2x

x

．若f（2^x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]時恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得方程組解出即可，（Ⅱ）將f（x）進(jìn)行變形，通過換元求出函數(shù)h（t）的最值，從而求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x-1）²-m+1+n
∴函數(shù)g（x）的圖象的對稱軸方程為x=1
∵m＞0依題意得

g(1)=0 g(3)=4

，
即

-m+1+n=0 3m+1+n=4

，
解得

m=1 n=0

∴g（x）=x²-2x+1，
（Ⅱ）∵f(x)=

g(x)-2x

x

∴f(x)=

g(x)-2x

x

=x+

1

x

-4，
∵f（2^x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]時恒成立，
即2x+

1

2x

-4-k•2x≤0在x∈[-3，3]時恒成立
∴k≥(

1

2x

)2-4(

1

2x

)+1在x∈[-3，3]時恒成立
只需 k≥((

1

2x

)2-4(

1

2x

)+1)max
令t=

1

2x

，
由x∈[-3，3]得t∈[

1

8

，8]
設(shè)h（t）=t²-4t+1
∵h(yuǎn)（t）=t²-4t+1
=（t-2）²-3
∴函數(shù)h（x）的圖象的對稱軸方程為t=2
當(dāng)t=8時，取得最大值33．
∴k≥h（t）_max=h（8）=33
∴k的取值范圍為[33，+∞）．

點評：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，求最值問題，換元思想，是一道綜合題．