Question

某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)O的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ（弧度）．
（1）求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知在花壇的邊緣（實(shí)線部分）進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)，y取得最大值？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用扇形的弧長(zhǎng)公式，結(jié)合環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，可求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求出花壇的面積、裝飾總費(fèi)用，可求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，換元，利用基本不等式，可求最大值．

解答： 解：（1）由題意，30=xθ+10θ+2（10-x），
∴θ=

10+2x

10+x

（0＜x＜10）；
（2）花壇的面積為

1

2

•10•θ•10-

1

2

•xθ•x=

θ

2

(100-x2)=（10-x）（5+x）；
裝飾總費(fèi)用為xθ•9+10θ•9+2（10-x）•4=9xθ+90θ+8（10-x）=170+10x，
∴花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y=

(10-x)(5+x)

170+10x

．
令17+x=t，
則y=

39

10

-

1

10

(t+

324

t

)≤

3

10

，當(dāng)且僅當(dāng)t=18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=1，θ=

12

11

，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y取得最大值

3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查扇形的弧長(zhǎng)公式，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．