【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣bx+alnx．
（1）若b=2，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，證明：f（x2）＞﹣ ；
（3）若對(duì)任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】
（1）解：由已知，b=2時(shí)，f（x）=x2﹣2x+alnx，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

求導(dǎo)數(shù)得：f′（x）= ，

∵f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，f′（x）=0有兩個(gè)不同的正根x1，x2，

故2x2﹣2x+a=0的判別式△=4﹣8a＞0，即a＜ ，

且x1+x2=1，x1x2= ＞0，所以a的取值范圍為（0， ）；


（2）證明：由（1）得， ＜x2＜1且f′（x2）=0，得a=2x2﹣2 ，

∴f（x2）= ﹣2x2+（2x2﹣2 ）lnx2，

令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（ ＜t＜1），

則F（t）=2（1﹣2t）lnt，

當(dāng)t∈（ ，1）時(shí)，F(xiàn)′（t）＞0，∴F（t）在（ ，1）上是增函數(shù)

∴F（t）＞F（ ）= ，

∴f（x2）＞﹣ ；


（3）解：令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，

由于x∈（1，e），所以g（b）為關(guān)于b的遞減的一次函數(shù)，

根據(jù)題意，對(duì)任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立，

則x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，

令h（x）=﹣x+x2+alnx，則只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，

由于h′（x）= ，令ω（x）=2x2﹣x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x﹣1＞0，

∴ω（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，∴ω（x）＞ω（1）=1+a，

①當(dāng)1+a≥0，即a≥﹣1時(shí)，ω（x）＞0，∴h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，e）上是增函數(shù)，∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意，

②當(dāng)1+a＜0，即a＜﹣1時(shí)，ω（1）=1+a＜0，ω（e）=2e2﹣e+a，

（�。┤籀兀╡）＜0，即a≤2e2﹣e＜﹣1時(shí)，在x∈（1，e）上ω（x）＞0恒成立

即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，

∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意，

（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1時(shí)，在（1，e）上存在實(shí)數(shù)m，使得ω（m）=0，

∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立

∴h（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，

∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意，

綜上所述，當(dāng)a＜﹣1時(shí)，對(duì)任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立．


【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可；（2）求出f（x2）= ﹣2x2+（2x2﹣2 ）lnx2 ， 令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（ ＜t＜1），得到F（t）=2（1﹣2t）lnt，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出F（t）＞（ ），從而證出結(jié)論；（3）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，得到在x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+alnx，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.（3，+∞）
D.[3，+∞）

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2﹣4x=0及點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，2）

（1）若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，MN=AB，求直線l的方程；
（2）在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由．

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【題目】若y=|3sin（ωx+ ）+2|的圖象向右平移 個(gè)單位后與自身重合，且y=tanωx的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ，0），則ω的最小正值為 ．

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【題目】已知橢圓E過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F2在x軸上，離心率，∠F1AF2的平分線所在直線為l．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及直線l的方程；

（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由．

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【題目】隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入，互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”，遍布了各個(gè)城市的大街小巷．為了解共享單車在市的使用情況，某調(diào)研機(jī)構(gòu)在該市隨機(jī)抽取了位市民進(jìn)行調(diào)查，得到的列聯(lián)表（單位：人）

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為使用共享單車的情況與年齡有關(guān)？(結(jié)果保留3位小數(shù)）

（2）現(xiàn)從所抽取的歲以上的市民中利用分層抽樣的方法再抽取5人

（i）分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù)；

（ii）從這5人中，再隨機(jī)抽取2人贈(zèng)送一件禮物，求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ，g（x）= ﹣1． （Ⅰ）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，若x≥1時(shí)，恒有xf（x）≤λ[g（x）+x]成立，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點(diǎn),且離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）是否存在過點(diǎn)的直線交橢圓與不同的兩點(diǎn),且滿足 (其中為坐標(biāo)原點(diǎn))。若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由。

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【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE（A1平面ABCD），若M、O分別為線段A1C、DE的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.與平面A1DE垂直的直線必與直線BM垂直
B.異面直線BM與A1E所成角是定值
C.一定存在某個(gè)位置，使DE⊥MO
D.三棱錐A1﹣ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值

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