Question

已知O是△ABC的外心，若AB=AC，∠CAB=30°，且

CO

=λ₁

CA

+λ₂

CB

，則λ₁λ₂=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)△ABC外接圓的半徑r=2．連接OC，OB，可得∠BOC=60°，△OBC是等邊三角形．得到BC=2，OD=

3

．得到A(0，2+

3

)，B（-1，0），C（1，0），O(0，

3

)．再利用

CO

=λ₁

CA

+λ₂

CB

，即可得出．

解答： 解：如圖所示，以底邊BC所在直線為x軸，BC邊的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)△ABC外接圓的半徑r=2．
連接OC，OB，則∠BOC=60°．
∴△OBC是等邊三角形．
∴BC=2．
∴OD=

3

．
∴A(0，2+

3

)，B（-1，0），C（1，0），O(0，

3

)．
∴

CO

=(-1，

3

)，

CA

=(-1，2+

3

)，

CB

=(-2，0)．
∵

CO

=λ₁

CA

+λ₂

CB

，
∴(-1，

3

)=λ1(-1，2+

3

)+λ₂（-2，0）．
∴

-1=-λ1-2λ2 3 =(2+ 3 )λ1

，解得

λ1=2 3 -3 λ2=2- 3

．
∴λ₁λ₂=(2

3

-3)(2-

3

)=7

3

-12．
故答案為：7

3

-12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、共面向量基本定理，考察了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．