Question

關(guān)于x的不等式x²+mx-2＜0解集為（-1，2），若復(fù)數(shù)z₁=m+2i，z₂=cosα+isinα，且z₁•z₂為純虛數(shù)，則tan2α=

 

．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算,一元二次不等式的解法

專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

分析：根據(jù)不等式的解集可得所對應(yīng)方程的根，將根代入方程可求出m的值；利用復(fù)數(shù)的乘法法則將z₁•z₂化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)純虛數(shù)的概念建立等式，可求出tanα的值，最后利用二倍角公式可求出所求．

解答： 解：∵不等式x²+mx-2＜0解集為（-1，2）．
∴-1、2是方程x²+mx-2=0的兩個根，則4+2m-2=0，解得m=-1
z₁•z₂=（-cosα-2sinα）+（-sinα+2cosα）i為純虛數(shù)，
∴-cosα-2sinα=0，tanα=-

1

2

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

．
故答案為：-

4

3

．

點評：本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的乘法運算和正切的二倍角公式，同時考查了運算求解的能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．