Question

設f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，且f（-

1

2

）•f（

1

2

）＜0，則方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)有

 

個實根．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，判斷b的取值范圍，進而得到函數(shù)f（x）在R時是單調(diào)遞增函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x³+bx+c，
∴f′（x）=3x²+b，
∵f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，
∴當x∈[-1，1]時，f′（x）=3x²+b≥0恒成立，
則b≥0，
當b≥0時，f′（x）=3x²+b≥0在R上恒成立，
即f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵且f（-

1

2

）•f（

1

2

）＜0，
∴函數(shù)在區(qū)間（-

1

2

，

1

2

）內(nèi)存在唯一的一個零點，
故方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)有1個根，
故答案為：1

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出b的取值范圍是解決本題的關鍵．