【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，直線平面，，，，點在棱上.

（1）求證：；

（2）若是的中點，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2） (3)

【解析】試題分析：（1）由平面，得；再由， 得， 平面.（2）先建立空間直角坐標系，由，，利用夾角公式可求異面直線與所成角的余弦值.（3）由得.再求出平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）證明：因為平面，所以，又，所以平面，又平面，故.

（2）因為，所以，又由（1）得，，所以以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，.

所以，，所以，

所以異面直線與所成角的余弦值為.

（3）因為平面，所以平面的一個法向量，由知為的三等分點且此時.在平面中，，，所以平面的一個法向量.

所以，又因為二面角的大小為銳角，所以該二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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