【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“型點”.
(1)若,時,判斷的左焦點是否為“型點”,并說明理由;
(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“型點”;
(3)若圓內(nèi)的任意一點都不是“型點”,試寫出a、b滿足的關(guān)系式,并說明理由.
【答案】(1)是,見解析;(2)見解析;(3),見解析
【解析】
(1)由雙曲線方程可知,雙曲線的左焦點為(,0),存在直線x分別求得交點坐標,即可說明;
(2)由直線y=kx與C2有公共點聯(lián)立方程組有實數(shù)解得到|k|>1,分過原點的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過原點的直線不可能同時與C1和C2有公共點;
(3)先考慮圓內(nèi)存在過Q的直線l與C1,C2都有公共點時的條件,由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間,進而說明當|k|>1時,過圓內(nèi)的點且斜率為k的直線與C2有公共點,再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍,從而得到,再取補集即可.
(1)C1的左焦點為(,0),存在直線x時,
與雙曲線C1的交點為(,±),與曲線C2交點為(,±(1)),
則C1的左焦點是“C1﹣C2型點”;
(2)因為直線y=kx與C2有公共點,
所以方程組有實數(shù)解,因此|kx|=|x|+1,得|k|1.
若原點是“C1﹣C2型點”,則存在過原點的直線與C1、C2都有公共點.
考慮過原點與C2有公共點的直線x=0或y=kx(|k|>1).
顯然直線x=0與C1無公共點.
如果直線為y=kx(|k|>1),則由方程組,得x2,矛盾.
所以直線y=kx(|k|>1)與C1也無公共點.
因此原點不是“C1﹣C2型點”.
(3)記圓,取圓O內(nèi)的一點Q,
由題意圓內(nèi)的任意一點都不是“型點”的反面是存在過Q的直線l與C1,C2都有公共點,
顯然l不與x軸垂直,
故可設l:y=kx+t.
若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間,因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間,
從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點,矛盾,所以|k|>1.
因為l與C1有公共點,所以方程組有實數(shù)解,
得(﹣k2)x2﹣ktx﹣t2﹣=0.
因為|k|>1,且所以﹣k2≠0,
因此△=(kt)2﹣4(﹣k2)(﹣t2﹣)≥0,
即t2k2﹣.
因為圓O的圓心(0,0)到直線l的距離,
所以,從而k2﹣,得>k2﹣,
k2恒成立,
又k2∴當時,即時,
圓內(nèi)存在過Q的直線l與C1,C2都有公共點,
因此,圓內(nèi)的任意一點都不是“型點”,
則需.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),如果存在給定的實數(shù)對,使得恒成立,則稱為“函數(shù)”;
(1)判斷函數(shù),是否是“函數(shù)”;
(2)若是一個“函數(shù)”,求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對;
(3)若定義域為的函數(shù)是“函數(shù)”,且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和,當時,的值域為,求當時的值域;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某單位共有老年人120人,中年人360人,青年人n人,為調(diào)查身體健康狀況,需要從中抽取一個容量為m的樣本,用分層抽樣的方法進行抽樣調(diào)查,樣本中的中年人為6人,則n和m的值不可以是下列四個選項中的哪組( )
A.n=360,m=14B.n=420,m=15C.n=540,m=18D.n=660,m=19
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在貫徹中共中央、國務院關(guān)于精準扶貧政策的過程中,某單位在某市定點幫扶某村戶貧困戶.為了做到精準幫扶,工作組對這戶村民的年收入情況、危舊房情況、患病情況等進行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標.將指標按照,,,,分成五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定若,則認定該戶為“絕對貧困戶”,否則認定該戶為“相對貧困戶”;當時,認定該戶為“亟待幫住戶”.工作組又對這戶家庭的受教育水平進行評測,家庭受教育水平記為“良好”與“不好”兩種.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為絕對貧困戶數(shù)與受教育水平不好有關(guān):
受教育水平良好 | 受教育水平不好 | 總計 | |
絕對貧困戶 | |||
相對貧困戶 | |||
總計 |
(2)上級部門為了調(diào)查這個村的特困戶分布情況,在貧困指標處于的貧困戶中,隨機選取兩戶,用表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
附:,其中.
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【題目】氣象意義上從春季進入夏季的標志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù):(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù))
①甲地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;
②乙地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24;
③丙地5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.
則肯定進入夏季的地區(qū)有_____.
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【題目】對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.
(1)已知二次函數(shù),試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由;
(2)若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若為定義域上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
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【題目】已知拋物線,的焦點為,過點的直線的斜率為,與拋物線交于,兩點,拋物線在點,處的切線分別為,,兩條切線的交點為.
(1)證明:;
(2)若的外接圓與拋物線有四個不同的交點,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】如圖,等腰梯形中,,,,為中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置(平面).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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【題目】某某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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