Question

已知函數f(x)=a-

1

2x+1

(x∈R)；
（1）求證：不論a為何實數，f（x）在（-∞，+∞）上均為增函數；
（2）若f（x）為奇函數，求a的值；
（3）在（2）的條件下，求f（x）在區(qū)間[1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用單調性的定義：任取x₁＜x₂，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）因為f（x）為R上的奇函數，所以f（0）=0，由此可求a值；
（3）在（2）的條件下得到f（x）表達式，利用f（x）的單調性即可求出在區(qū)間[1，5]上的最大值和最小值．

解答：（1）證明：f（x）的定義域為R，任取x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以，無論a為何實數，f（x）總為增函數．
（2）解：因為f（x）為R上的奇函數，所以f（0）=0，即a-

1

20+1

=0
解得a=

1

2

．
（3）由（2）知，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

(x∈R)，
由（1）知f（x）為區(qū)間[1，5]上的增函數，
所以f（x）在[1，5]上的最小值為f(1)=

1

6

，最大值為f（5）=

31

66

．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，定義是解決函數奇偶性、單調性的基本方法．