Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(

2

，0)，(-

2

，0)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）線段AB的長(zhǎng)是3，求實(shí)數(shù)k；
（2）（理）若點(diǎn)A在第四象限，當(dāng)k＜0時(shí)，判斷|

OA

|與|

OB

|的大小，并證明．
     （文）求證：

OA

•

OB

＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的定義

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(

2

，0)，(-

2

，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，可得橢圓方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用線段AB的長(zhǎng)是3，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求實(shí)數(shù)k；
（2）（理）利用韋達(dá)定理，證明

|OA|

2-

|OB|

2＞0，即可；
（文）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(

2

，0)，(-

2

，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，
故曲線C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．                                        4分
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足

x2 4 + y2 2 =1 y=kx+1

消去y并整理得（1+2k²）x²+4kx-2=0，5分
則△=32k²+8，6分
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

32k2+8

1+2k2

，8分
∴

1+k2

•

32k2+8

1+2k2

=3，
∴k2=

1

2

，
∴k=±

2

2

9分
（2）（理）

|OA|

＞

|OB|

10分
證明如下：

|OA|

2-

|OB|

2=

x

2 1

+

y

2 1

-(

x

2 2

+

y

2 2

)=x12-x22+2(1-

1

4

x12-1+

1

4

x22)
=

1

2

(x12-x22)=

1

2

(x1-x2)(x1+x2)=

-2k

1+2k2

(x1-x2)12分
∵A在第四象限，故x₁＞0．
由x1x2=-

2

1+2k2

知x₂＜0，
從而x₁-x₂＞0．又k＜0，13分
故

|OA|

2-

|OB|

2＞0，即在題設(shè)條件下，恒有

|OA|

＞

|OB|

14分．
（文）

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

-2k2-2

1+2k2

+

-4k2

1+2k2

+1=

-4k2-1

1+2k2

＜0

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．