Question

若x∈[1，+∞），不等式（m-m²）2^x+4^x+1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式進(jìn)行參數(shù)分離，利用換元法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，利用y=t+

1

t

的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式（m-m²）2^x+4^x+1＞0恒成立，等價(jià)為不等式4^x+1＞（m²-m）2^x恒成立，
即m2-m＜

4x+1

2x

=2x+

1

2x

，
設(shè)t=2^x，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，t∈[2，+∞），
∵y=2x+

1

2x

=t+

1

t

在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y的最小值為2+

1

2

=

5

2

，
∴要使m2-m＜

4x+1

2x

=2x+

1

2x

恒成立，
則m2-m＜

5

2

，
即2m²-2m-5＜0，
解得

1- 11

2

＜m＜

1+ 11

2

，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

1- 11

2

，

1+ 11

2

)，
故答案為：(

1- 11

2

，

1+ 11

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵，注意使用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=t+

1

t

形式，利用此類(lèi)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的突破．