Question

已知雙曲線C：

x2

m

-y2=1(m＞0)，A．B兩點(diǎn)分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|AB|=2

m

，又點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程并判斷其形狀；
（2）若不同三點(diǎn)D（-2，0）、S、T 均在點(diǎn)P的軌跡上，且

DS

•

ST

=0； 求T點(diǎn)橫坐標(biāo)x_T的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)|AB|=2

m

，建立方程，化簡(jiǎn)，即可求點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）直線DS、ST分別代入橢圓方程，求出T點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用基本不等式，即可求T點(diǎn)橫坐標(biāo)x_T的取值范圍．

解答： 解：（1）雙曲線漸近線為y=

x

m

與y=-

x

m

．
所以設(shè)A(xA，

xA

m

)，B(xB，-

xB

m

)，
所以xP=

xA+xB

2

，yP=

xA-xB

2 m

，
又|AB|=2

m

，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

m2

+y2=1，
所以m=1時(shí)P的軌跡為圓；m＞1時(shí)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；0＜m＜1時(shí)P的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；（6分）
（2）把D（-2，0）代入

x2

m2

+y2=1，得P的軌跡的

x2

4

+y2=1…①
設(shè)直線DS為y=k（x+2）…②
聯(lián)立①②得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)點(diǎn)S（x₁，y₁），有xD+x1=

-16k2

1+4k2

，
所以x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=

4k

1+4k2

則直線ST為y=-

1

k

(x-x1)+y1
化簡(jiǎn)為：y=-

x

k

+

2-4k2

k(1+4k2)

③
聯(lián)立①，③得(1+

4

k2

)x2+

32k2-16

k2(1+4k2)

x+

4(2-4k2)2

k2(1+4k2)2

-4=0，
所以x1+xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

，
所以xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

-

2-8k2

1+4k2

=

8k4-2k2+8

4k4+17k2+4

=2-

36k2

4k4+17k2+4

（ 因?yàn)槿�點(diǎn)不同，易知k≠0）
=2-

36k2

4k4+17k2+4

=

36

4(k2+ 1 k2 )+17

≥2-

36

25

=

14

25

所以x_T的取值范圍為[

14

25

，2)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查代入法的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．