Question

10．設O為坐標原點，點A在橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1上，點B在橢圓$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}$=1上，若$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，則直線AB的方程為y=x或y=-x．

Answer 1

分析 A，B兩點的坐標分別記為（x_A，y_A），（x_B，y_B），設直線AB的方程為y=kx，將y=kx代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，將y=kx代入$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$中，分別求出A，B的坐標，由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，求解直線AB的方程．

解答 解：A，B兩點的坐標分別記為（x_A，y_A），（x_B，y_B），因為$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，所以O，A，B三點
共線且點A，B不在y軸上，
因此可設直線AB的方程為y=kx，將y=kx代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，
得（1+4k²）x²=4，所以${x_A}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$，
將y=kx代入$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$中，得（1+k²）x²=16，所以${x_B}^2=\frac{16}{{4+{k^2}}}$，
又由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，得${x_B}^2=4{x_A}^2$，即$\frac{16}{{4+{k^2}}}=\frac{16}{{1+4{k^2}}}$，
解得k=±1．故直線AB的方程為y=x或y=-x．
故答案為：y=x或y=-x．

點評 本題考查直線與圓錐曲線才的綜合應用，直線方程的求法，考查計算能力．