Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{4}{3}$），且b_n=a_n+$\frac{1}{3}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若對任意n∈N^*，p≤S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$≤q，求q-p的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對a_n=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{4}{3}$）變形可知a_n+$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{1}{3}$），進而可知數(shù)列{b_n}是以$\frac{4}{3}$為首項、-$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，計算即得結論；
（Ⅱ）通過（I）可知S_n=$\frac{{3}^{n}-（-1）^{n}}{{3}^{n}}$，化簡可知S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-（-1）^{n}•2•{3}^{n}}{{9}^{n}-（-1）^{n}•{3}^{n}}$且$\underset{lim}{n→∞}$（S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$）=0．分n是奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即得結論．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{3}$a_n-1-$\frac{4}{9}$，
∴a_n+$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{1}{3}$），
又∵b₁=a₁+$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴數(shù)列{b_n}是以$\frac{4}{3}$為首項、-$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=a_n+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$•$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$=（-1）^n-1•$\frac{4}{{3}^{n}}$，
∴數(shù)列{an}的通項公式a_n=-$\frac{1}{3}$+（-1）^n-1•$\frac{4}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）解：由（I）可知S_n=$\frac{\frac{4}{3}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{3}）}$=1-（-1）ⁿ•$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n}-（-1）^{n}}{{3}^{n}}$，
∴S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}-（-1）^{n}}{{3}^{n}}$-$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-（-1）^{n}}$
=$\frac{[{3}^{n}-（-1）^{n}]^{2}-（{3}^{n}）^{2}}{{3}^{n}[{3}^{n}-（-1）^{n}]}$
=$\frac{1-（-1）^{n}•2•{3}^{n}}{{9}^{n}-（-1）^{n}•{3}^{n}}$，
顯然$\underset{lim}{n→∞}$（S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-（-1）^{n}•2•{3}^{n}}{{9}^{n}-（-1）^{n}•{3}^{n}}$=0．
下面對n的奇偶性進行討論：
①當n=2k（k∈N⁺）時，S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-2•{3}^{2k}}{{9}^{2k}-{3}^{2k}}$，
記f（k）=$\frac{1-2•{3}^{2k}}{{9}^{2k}-{3}^{2k}}$，顯然f（k）隨著k的增大而增大，
∴f（1）≤f（k）＜0，
又∵f（1）=$\frac{1-2•{3}^{2}}{{9}^{2}-{3}^{2}}$=-$\frac{17}{72}$，
∴-$\frac{17}{72}$≤S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$＜0；
②當n=2k-1（k∈N⁺）時，S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1+2•{3}^{2k-1}}{{9}^{2k-1}+{3}^{2k-1}}$，
記f（k）=$\frac{1+2•{3}^{2k-1}}{{9}^{2k-1}+{3}^{2k-1}}$，顯然f（k）隨著k的增大而減小，
∴0＜f（k）≤f（1），
又∵f（1）=$\frac{1+2•3}{9+3}$=$\frac{7}{12}$，
∴0＜f（k）≤$\frac{7}{12}$；
綜上所述，-$\frac{17}{72}$≤S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$≤$\frac{7}{12}$，
∴q-p的最小值為：$\frac{7}{12}$+$\frac{17}{72}$=$\frac{59}{72}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．