Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC₁； 
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用線面垂直的性質(zhì)定理可得CC₁⊥AC，再利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）利用直三棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理即可得出ED∥AC₁，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論

解答： 證明：（1）因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
所以C₁C⊥平面ABC，所以C₁C⊥AC．
又因?yàn)锳C=3，BC=4，AB=5，
所以AC²+BC²=AB²，
所以AC⊥BC．
又C₁C∩BC=C，
所以AC⊥平面CC₁B₁B，
所以AC⊥BC₁．
（2）連結(jié)C₁B交CB₁于E，再連結(jié)DE，
由已知可得E為C₁B的中點(diǎn)，
又∵D為AB的中點(diǎn)，∴DE為△BAC₁的中位線．
∴AC₁∥DE
又∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、直三棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．