Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.，

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.

詳解：（1）的定義域?yàn)?/span>，.

（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.

（ii）若，令得，或.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).

由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足，所以，不妨設(shè)，則.由于

，

所以等價(jià)于.

設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，.

所以，即.