Question

設(shè)a₁=1，a_n+1=

a 2 n -2an+2

+b（n∈N^*）
（Ⅰ）若b=1，求a₂，a₃及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b=-1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a_2n＜c＜a_2n+1對所有的n∈N^*成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）若b=1，利用a_n+1=

a 2 n -2an+2

+b，可求a₂，a₃；證明{（a_n-1）²}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=

(x-1)2+1

-1，則a_n+1=f（a_n），令c=f（c），即c=

(c-1)2+1

-1，解得c=

1

4

．用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a_2n＜c＜a_2n+1＜1即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

a 2 n -2an+2

+b，b=1，
∴a₂=2，a₃=

2

+1；
又（a_n+1-1）²=（a_n-1）²+1，
∴{（a_n-1）²}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列；
∴（a_n-1）²=n-1，
∴a_n=

n-1

+1（n∈N^*）；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=

(x-1)2+1

-1，則a_n+1=f（a_n），
令c=f（c），即c=

(c-1)2+1

-1，解得c=

1

4

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a_2n＜c＜a_2n+1＜1．
n=1時，a₂=f（1）=0，a₃=f（0）=

2

-1，∴a₂＜c＜a₃＜1，成立；
設(shè)n=k時結(jié)論成立，即a_2k＜c＜a_2k+1＜1
∵f（x）在（-∞，1]上為減函數(shù)，
∴c=f（c）＞f（a_2k+1）＞f（1）=a₂，
∴1＞c＞a_2k+2＞a₂，
∴c=f（c）＜f（a_2k+2）＜f（a₂）=a₃＜1，
∴c＜a_2k+3＜1，
∴a_2（k+1）＜c＜a_2（k+1）+1＜1，即n=k+1時結(jié)論成立，
綜上，c=

1

4

使得a_2n＜c＜a_2n+1對所有的n∈N^*成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．