Question

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB=CE．
（Ⅰ）證明：∠D=∠E；
（Ⅱ）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可證明：∠D=∠E；
（Ⅱ）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，證明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，進(jìn)而可得∠A=∠E，即可證明△ADE為等邊三角形．

解答： 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（Ⅱ）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，則由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直線MN上，
∵AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．