Question

【題目】如圖1是定義在R上的二次函數(shù)f(x)的部分圖像，圖2是函數(shù)的部分圖像。

(Ⅰ) 分別求出函數(shù)和的解析式；

（Ⅱ）如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) ,;(2)

【解析】試題分析：（1）由題圖1得，二次函數(shù)f（x）的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)函數(shù)的頂點(diǎn)式f（x）=a（x﹣1）2+2，又函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，0），求出a，得f（x）的解析式．由題圖2得，函數(shù)g（x）=loga（x+b）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入列出關(guān)于a，b的方程組，解得a，b．最后寫出g（x）的解析式即可；

（2）由（1）得y=g（f（x））=log2（﹣2x2+4x+1）是由y=log2t和t=﹣2x2+4x+1復(fù)合而成的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而得出滿足條件的m的取值范圍．

試題解析：

(Ⅰ) f(x)＝a(x－1)2＋2.又函數(shù)f(x).的圖像過(guò)點(diǎn)(0,0)，故a＝－2，

整理得f(x)＝－2x2＋4x.

由題圖2得，函數(shù)g(x)＝loga(x＋b)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,0)和(1,1)，

故有∴

∴g(x)＝log2(x＋1)．

（Ⅱ）由(Ⅰ) 得y＝g[f(x)]＝log2(－2x2＋4x＋1)是由

y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1復(fù)合而成的函數(shù)，

而y＝log2t在定義域上單調(diào)遞增，

要使函數(shù)y＝g[f(x)]在區(qū)間[1，m)上單調(diào)遞減，

必須使t＝－2x2＋4x＋1在區(qū)間[1，m)上單調(diào)遞減，且有t>0恒成立．

又∵其對(duì)稱軸x＝＝1，且由t＝0，得x＝.

故1<m≤.