Question

【題目】已知函數(shù)．

（I）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（II）若對于任意，都有成立，求k的取值范圍；

(Ⅲ)若，且，證明：．

Answer 1

【答案】（I）極小值為，無極大值；（II）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意x>0，由此根據(jù)k≤0，k>0利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）問題轉(zhuǎn)化為，對于x∈[e，e2]恒成立，令，則，令，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)k的取值范圍．
（3）設(shè)，則，要證，只要證，即證，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明.

試題解析：

（1），

①時，因為，所以，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；

②當(dāng)時，令，解得，

當(dāng)時，；當(dāng)，．

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，

在區(qū)間上的極小值為，無極大值．

（2）由題意，，

即問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，

即對于恒成立，

令，則，

令，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)．

要使對于恒成立，只要，

所以，即實數(shù)k的取值范圍為．

（3）證法1 因為，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且．

不妨設(shè)，則，

要證，只要證，即證．

因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，

又，即證，

構(gòu)造函數(shù)，

即，．

，

因為，所以，即，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，

而，故，

所以，即，所以成立．

證法2 要證成立，只要證：.

因為，且，所以，

即，，

即，

，同理，

從而，

要證，只要證，

令不妨設(shè)，則，

即證，即證，

即證對恒成立，

設(shè)，，

所以在單調(diào)遞增，，得證，所以.