Question

已知函數(shù)y=2x²+bx+c在(-∞，-

3

2

)上是減函數(shù)，在(-

3

2

，+∞)上是增函數(shù)，且兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=2，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：二次函數(shù)的對(duì)稱軸把定義域分為兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，可得其對(duì)稱軸為x=-

3

2

，由此可以求出b，對(duì)|x₁-x₂|=2進(jìn)行變形得|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2，由此方程可求得c．

解答：解：由已知得：對(duì)稱軸x=-

3

2

，
所以-

b

4

=-

3

2

得b=6；
故f（x）=2x²+6x+c
又x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，所以x₁，x₂是方程2x²+6x+c=0的兩個(gè)根，
∴x1+x2=-3，x1•x2=

c

2

；
所以|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2得c=

5

2

故f(x)=2x2+6x+

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，此類題的特征是知道了函數(shù)圖象上某些點(diǎn)的坐標(biāo)或者知道了函數(shù)的一些與點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)系的特征以及對(duì)稱性等，可以由這些特征建立方程求出相應(yīng)參數(shù)，得到二次函數(shù)的解析式．