Question

【題目】已知圓C:，直線 ，過(guò)的一條動(dòng)直線與直線相交于N，與圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

(2)設(shè)，試問(wèn)是否為定值,若為定值,請(qǐng)求出的值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2）

【解析】

（1）過(guò)A（﹣1，0）的一條動(dòng)直線l．應(yīng)當(dāng)分為斜率存在和不存在兩種情況；當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，進(jìn)行驗(yàn)證．當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），由于弦長(zhǎng)，利用垂徑定理，則圓心C到弦的距離|CM|=1．從而解得斜率K來(lái)得出直線l的方程為；

（2）同樣，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，要對(duì)設(shè)t=，進(jìn)行驗(yàn)證．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得到一個(gè)二次方程．充分利用“兩根之和”和“兩根之積”去找．再用兩根直線方程聯(lián)立，去找．從而確定t=的代數(shù)表達(dá)式，再討論t是否為定值．

(1) 當(dāng)直線與軸垂直時(shí),

易知符合題意;

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),

設(shè)直線的方程為,

由于,

所以由,

解得.

故直線的方程為或

(2)當(dāng)與軸垂直時(shí),易得,,又則

,故. 即

當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,代入圓的方程得

.

則 ,

即, .

又由得,

則.

故.

綜上,的值為定值,且

解法二（幾何法）:

連結(jié),延長(zhǎng)交于點(diǎn)，計(jì)算CA斜率知.又于,

故△∽△.于是有.

由得

故