Question

【題目】為了豐富學(xué)生活動(dòng)，在體育課上，體育教師設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，讓甲、乙、丙三人各抓住橡皮帶的一端，甲站在直角斜邊的中點(diǎn)處，乙站在處，丙站在處.游戲開(kāi)始，甲不動(dòng)，乙、丙分別以和的速度同時(shí)出發(fā)，勻速跑向終點(diǎn)和，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繃緊的橡皮帶圍成一個(gè)如圖所示的.（規(guī)定：只要有一人跑到終點(diǎn)，游戲就結(jié)束，且）.已知長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，記經(jīng)過(guò)后的面積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)表示，并求出的取值范圍；

（2）當(dāng)游戲進(jìn)行到時(shí)，體育教師宣布停止，求此時(shí)的最小值.

Answer 1

【答案】（1），其中時(shí)，，時(shí)，.（2）最小值為

【解析】

（1）求出路程，從而可得，由勾股定理得，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得直線(xiàn)的方程，求出到直線(xiàn)的距離，即的高，從而可表示出其面積.計(jì)算兩人分別走到所用時(shí)間，比較它們的大小，可得的取值范圍.

（2）由（1）得，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值.

解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以、為、軸建立直角坐標(biāo)系，

，則，

，則，

為中點(diǎn)，則，

秒后，，，

，

直線(xiàn)方程為：，

，

到距離，

∴，

，即，則，

，即，則，

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

其中時(shí)，，

時(shí)，.

（2）∵，

∴，

，

令得，

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)取最小值，

此時(shí)，

答：此時(shí)最小值為.