【題目】已知函數(shù).
(1)若,求證:在區(qū)間是增函數(shù);
(2)設(shè),若對任意的,恒有,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)當(dāng)時, ,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并判斷單調(diào)性,說明在區(qū)間是增函數(shù);
(2)首先判斷函數(shù)的單調(diào)性,并且判斷函數(shù)只有最小值,無最大值,若滿足條件,即,轉(zhuǎn)化為求的最小值,并且用表示.
(1)當(dāng),.則.
當(dāng),由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知,為上的增函數(shù).
所以,當(dāng)時,.
所以在區(qū)間是增函數(shù).
(2)由題,則
令,則為上的增函數(shù).
當(dāng);當(dāng);
所以必然存在,使得,即.
當(dāng),,即,所以為減函數(shù).
當(dāng),,即,所以為增函數(shù).
所以,無最大值.
此外,因為,所以.
令,則就有.
又,當(dāng),,所以為上的增函數(shù).
因為,且,.所以必然有.
此時,.
又任意的,恒有,
所以,即.
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【題目】【2018屆北京市海淀區(qū)】如圖,三棱柱側(cè)面底面,
, 分別為棱的中點.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求三棱柱的體積;
(Ⅲ)在直線上是否存在一點,使得平面?若存在,求出的長;若不存在,說明理由.
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【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在正常數(shù)、,使得對一切均成立,則稱是“控制增長函數(shù)”.在以下四個函數(shù)中:①;②;③;④.是“控制增長函數(shù)”的有( )個
A.B.C.D.
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【題目】過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點,為虛軸的一個端點,且為鈍角三角形,則此雙曲線離心率的取值范圍為__________.
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【題目】為了豐富學(xué)生活動,在體育課上,體育教師設(shè)計了一個游戲,讓甲、乙、丙三人各抓住橡皮帶的一端,甲站在直角斜邊的中點處,乙站在處,丙站在處.游戲開始,甲不動,乙、丙分別以和的速度同時出發(fā),勻速跑向終點和,運動過程中繃緊的橡皮帶圍成一個如圖所示的.(規(guī)定:只要有一人跑到終點,游戲就結(jié)束,且).已知長為,長為,記經(jīng)過后的面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)表示,并求出的取值范圍;
(2)當(dāng)游戲進行到時,體育教師宣布停止,求此時的最小值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,點,是曲線上的任意一點,動點滿足
(1)求點的軌跡方程;
(2)經(jīng)過點的動直線與點的軌跡方程交于兩點,在軸上是否存在定點(異于點),使得?若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】下列關(guān)于充分必要條件的判斷中,錯誤的是( )
A.“”是“”的充分條件
B.“”是“”的必要條件
C.“”是“”的充要條件
D.“,”是“”的非充分非必要條件
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【題目】某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試成績按人數(shù)所占比例依次由高到低分為,,,,五個等級,等級,等級,等級,,等級共.其中等級為不合格,原則上比例不超過.該省某校高二年級學(xué)生都參加學(xué)業(yè)水平考試,先從中隨機抽取了部分學(xué)生的考試成績進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如圖所示.若該校高二年級共有1000名學(xué)生,則估計該年級拿到級及以上級別的學(xué)生人數(shù)有( )
A.45人B.660人C.880人D.900人
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