Question

（2012•徐匯區(qū)一模）設a∈R，把三階行列式

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2 3     5 1 4 x+a 4     0 2 1     x

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中第一行第二列元素的余子式記為f（x），且關于x的不等式f（x）＜0的解集為
（-2，0）．各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若bn=k

an

2

（k＞0），求

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

的值；
（3）令cn=

an，n為奇數(shù) c n 2 ，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前2012項中滿足c_m=6的所有項數(shù)之和．

Answer 1

分析：（1）由條件可知，f（x）=

1

4

x²+ax，利用不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），可求a，從而可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）利用點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，可得所以S_n=

1

4

an2+

1

2

an，利用當n≥2時，由=S_n-S_n-1，可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，從而可得a_n=2n，進而可求

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

；
（3）分n為奇數(shù)、偶數(shù)分別確定m，即可求得數(shù)列{c_n}的前2012項中滿足c_m=6的所有項數(shù)之和．

解答：解：（1）由條件可知，f（x）=

1

4

x²+ax…（2分）
因為關于x的不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），所以a=

1

2

…（3分）
即函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=

1

4

x²+

1

2

x…（4分）
（2）因為點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以S_n=

1

4

an2+

1

2

an
n=1代入，a₁=S₁=

1

4

a12+

1

2

a1，即

1

4

a12-

1

2

a1=0，
因為a₁＞0，所以a₁=2；…（6分）
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，化簡可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（8分）
因為a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a_n=2n（n∈N^*）…（10分）
則b_n=kⁿ，所以

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

=

lim

n→∞

2×kn-1

kn+2

=

- 1 2 ，0＜k＜1 1 3 ，k=1 2，k＞1

…（12分）
（3）數(shù)列{c_n}的前2012項中
n為奇數(shù)時，c_m=a_m=2m=6，∴m=3…（14分）
n偶數(shù)時，要滿足c_m=6，則m=3×2^t（t≤9）
所以數(shù)列{c_n}的前2012項中滿足c_m=6的所有項數(shù)之和為3+3×2+…+3×2⁹=3069…（18分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關系，考查數(shù)列通項的求解，考查數(shù)列求和，確定數(shù)列通項是關鍵．