Question

（2012•徐匯區(qū)一模）由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

中，每行中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數(shù)列，給出下列判斷：①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比數(shù)列；②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比數(shù)列；③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；④若9個(gè)數(shù)之和等于9，則a₂₂≥1．其中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：先由題意設(shè)列出由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：

a a+d   a+2d b b+m  b+2m c c+n   c+2n

由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數(shù)列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正確；再由（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），得到③正確；
再題意設(shè)列舉出由9個(gè)正數(shù)組成的特殊矩陣判斷②④錯(cuò)即可．

解答：解：由題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：

a a+d   a+2d b b+m  b+2m c c+n   c+2n

由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數(shù)列
則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正確；
（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），故③正確；
再題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：

1 2 1    3 2 1 1      1 1 2 1      3 2

，故②錯(cuò)；
再題意設(shè)由若9個(gè)數(shù)之和等于9組成的矩陣是：

1 4 1 2    3 4 1 4 1 2    3 4 1 3 5 3     3

，故④錯(cuò)；
其中正確的序號(hào)有①③．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以三階矩陣為載體，主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、三階矩陣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．