Question

（2012•徐匯區(qū)一模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得

am•an

=2

2

a1，則

1

m

+

4

n

的最小值為

11

6

．

Answer 1

分析：由題意可得 a₆q=a₆+2

a6

q

，解得q=2．由

am•an

=2

2

a1可得 m+n=5，再由m、n是正整數(shù)，求得

1

m

+

4

n

的最小值．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由 a₇=a₆+2a₅ ，可得到 a₆q=a₆+2

a6

q

，
由于 a_n＞0，所以上式兩邊除以a₆ 得到q=1+

2

q

，解得q=2或q=-1．
因?yàn)楦黜?xiàng)全為正，所以q=2．
由于存在兩項(xiàng) a_m，a_n 使得

am•an

=2

2

a1，所以，a_m•a_n=8 a12，
即 a1qm-1•a1qn-1=8 a12，∴q^m+n-2=8，∴m+n=5．
當(dāng) m=1，n=4時(shí)，

1

m

+

4

n

=2；  當(dāng) m=2，n=3時(shí)，

1

m

+

4

n

=

11

6

；當(dāng) m=3，n=2時(shí)，

1

m

+

4

n

=

7

3

；
當(dāng) m=4，n=1時(shí)，

1

m

+

4

n

=

17

4

．
故當(dāng) m=2，n=3時(shí)，

1

m

+

4

n

取得最小值為

11

6

，
故答案為

11

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．