【題目】已知函數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,證明:函數(shù)只有一個零點;
(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點,,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,進而得到函數(shù)的最值,發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值等于0,從而得證;(2)原題等價于導(dǎo)函數(shù)存在兩個變號零點,對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,和圖像性質(zhì),使得導(dǎo)函數(shù)有兩個零點,進而得到結(jié)果.
(1)由題知:,
令,,
當(dāng),,所以在上單調(diào)遞減.
因為,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,故只有一個零點.
(2)由(1)知:不合題意,
當(dāng)時,因為,;,;
又因為,所以;
又因為,
因為函數(shù),,,
所以,即,
所以存在,滿足,
所以,;,;,;
此時存在兩個極值點,0,符合題意.
當(dāng)時,因為,;,;所以;
所以,即在上單調(diào)遞減,
所以無極值點,不合題意.
綜上可得:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若圓經(jīng)過坐標原點和點,且與直線相切, 從圓外一點向該圓引切線,為切點,
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)已知點,且, 試判斷點是否總在某一定直線上,若是,求出的方程;若不是,請說明理由;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中直線與軸的交點為,點是直線上兩動點,且以為直徑的圓過點,圓是否過定點?證明你的結(jié)論.
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【題目】關(guān)于曲線的下列說法:(1)關(guān)于點對稱;(2)關(guān)于直線軸對稱;(3)關(guān)于直線對稱;(4)是封閉圖形,面積小于;(5)是封閉圖形,面積大于;(6)不是封閉圖形,無面積可言.其中正確的序號是________.
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【題目】已知數(shù)列和滿足:,且成等比數(shù)列,成等差數(shù)列.
(1)行列式,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)在(1)的條件下,若不是常數(shù)列,是等比數(shù)列,
①求和的通項公式;
②設(shè)是正整數(shù),若存在正整數(shù),使得成等差數(shù)列,求的最小值.
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【題目】如圖,已知圓的方程為,圓的方程為,若動圓與圓內(nèi)切,與圓外切.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)過直線上的點作圓的兩條切線,設(shè)切點分別是,,若直線與軌跡交于,兩點,求的最小值.
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【題目】已知等差數(shù)列的前項和為,集合,集合B={x2﹣y2=1,x,y∈R},請判斷下列三個命題的真假.若為真,請給予證明;若為假,請舉出反例.
(1)以集合中的元素為坐標的點均在同一條直線上;
(2)A∩B至多有一個元素;
(3)當(dāng)a1≠0時,一定有A∩B≠..
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【題目】在平面直角坐標系中,長度為2的線段EF的兩端點E、F分別在兩坐標軸上運動.
(1)求線段EF的中點G的軌跡C的方程;
(2)設(shè)軌跡C與軸交于兩點,P是軌跡C上異于的任意一點,直線交直線于M點,直線交直線于N點,求證:以MN為直徑的圓C總過定點,并求出定點坐標.
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