【題目】已知函數(shù).

(1)求不等式的解集;

(2)函數(shù)若存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若函數(shù)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(直接寫出答案,不要求寫出解題過程).

【答案】(1) ;(2) ;(3)答案見解析.

【解析】【試題分析】(1)先判斷出函數(shù)的是定義在區(qū)間上的減函數(shù),然后將所求不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,由此求得解集為.(2)由題意知: 時(shí), 值域有交集. 時(shí), 是減函數(shù)對(duì)分成兩類討論得出的值域,由此求得的取值范圍.(3)由,得,令作出圖像,對(duì)分類,結(jié)合圖象討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【試題解析】

1,定義域?yàn)?/span>

,函數(shù)是奇函數(shù).

時(shí)是減函數(shù),(也可用定義法證明)

故不等式等價(jià)于

,

故不等式的解集為.

(2)由題意知: 時(shí), 值域有交集.

時(shí), 是減函數(shù)

當(dāng)時(shí), 時(shí)單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí), 時(shí)單調(diào)遞增, 顯然不符合

綜上: 的取值范圍為

(3),得,令

作出圖像

由圖可知,①當(dāng)時(shí),由得出,

當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn);

②當(dāng)時(shí),只有一個(gè),對(duì)應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn);

③當(dāng)時(shí),只有一個(gè),對(duì)應(yīng)只有一個(gè)零點(diǎn);

④當(dāng)時(shí), ,此時(shí) , ,

得在時(shí), ,三個(gè)分別對(duì)應(yīng)一個(gè)零點(diǎn),共3個(gè),

時(shí), ,三個(gè)分別對(duì)應(yīng)1個(gè),1個(gè),3個(gè)零點(diǎn),共5個(gè).

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)3個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)5個(gè)零點(diǎn).

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