Question

已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意作出不等式組對應的平面區(qū)域，為圖中陰影部分，設P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個動點，得=K_OP是原點與P點連線的斜率．運動P點并觀察斜率的變化，可得得≥或，從而得到當且僅當P與A重合時，的最小值為．
解答：解：設直線l₁：y=2，l₂：x+y+4=0，l₃：x-y-2=0
作出三條直線在坐標系內(nèi)的圖形如右圖，設點A、B分別是
l₁、l₂的交點和l₁、l₃的交點
可得不等式組表示的平面區(qū)域是在l₂和l₃的上方，且在線段AB上方的陰影部分
設P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個動點，由=K_OP，
是原點與P點連線的斜率，
將P點在區(qū)域內(nèi)運動，可得當P在第一象限內(nèi)運動時，K_OP為正數(shù)，當P與B重合時，K_OP達到最小值
當P在第二象限內(nèi)運動時，K_OP為負數(shù)，當P與A重合時，K_OP達到最大值
∵l₁、l₂的交點A（-6，2），l₁、l₃的交點B（4，2）
∴OA的斜率K₁==，OB的斜率K₂==．
由此可得≥或，取絕對值，得≥，最小值為
當且僅當P與A重合時，的最小值為
故答案為：
點評：本題給出不等式組表示的平面區(qū)域，求區(qū)域內(nèi)一點縱坐標與橫坐標比值的絕對值最小值，考查了直線的斜率和二元一次不等式組表示平面區(qū)域等知識點，屬于基礎題．