Question

已知函數(shù)f（x）=

a x-1 ，x≤0 lgx，x＞0

，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)a討論，分a=0，a＞0，a＜0，三種情況，運(yùn)用換元法，令t=f（x），f（f（x））=0即為f（t）=0，討論函數(shù)f（x）在x＞0和x≤0的值域，結(jié)合條件有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，分析即可得到a的范圍．

解答： 解：若a=0時(shí)，x≤0，f（x）=0，
令t=f（x），f（f（x））=0即為f（t）=0，則有無(wú)數(shù)個(gè)解，不成立；
若a＞0，則x≤0，f（x）=

a

x-1

＜0，
方程f（f（x））=0即為f（t）=0，即有f（1）=0，t=1，f（x）=1，解得x=10，成立；
若a＜0，則x≤0，f（x）=

a

x-1

∈（0，-a]，
方程f（f（x））=0即為f（t）=0，即有f（1）=0，
由于關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
即f（x）=1只有一解，則有-a＜1，即為a＞-1，
則有-1＜a＜0．
綜上可得，a＞0或-1＜a＜0．
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，運(yùn)用分類討論的思想和函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵．