Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD
=2，點(diǎn)M在線段PC上，且

PM

=λ

MC

（0≤λ≤1），N為AD的中點(diǎn)
（1）求證：BC⊥平面PNB
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M-BN-D為60°，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PN⊥AD，△ABD為等邊三角形，BN⊥AD，從而AD⊥平面PNB，由AD∥BC，能證明BC⊥平面PNB．
（2）分別以NA，NB，NP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BMN的一個(gè)法向量和平面BCD的一個(gè)法向量，由此結(jié)合已知條件利用向量法能求出λ的值．

解答： 解：（1）證明：∵PA=AD，N為AD的中點(diǎn)，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
又∴N為AD的中點(diǎn)，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N，
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
如圖，分別以NA，NB，NP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（0，

3

，0），
C（-2，

3

，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

），
設(shè)M（x，y，z），則

PM

=（x，y，z-

3

），

MC

=（-2-x，

3

-y，-z），
∴λ

MC

=（-2λ，

3

λ-λy，-λz），
由

PM

=λ

MC

（0≤λ≤1），得

x=-2λ-λx y= 3 λ-λy z- 3 =-λz

，
解得x=

-2λ

λ+1

，y=

3 λ

λ+1

，z=

3

λ+1

，
∴M（

-2λ

λ+1

，

3 λ

λ+1

，

3

λ+1

），
∴

BM

=（

-2λ

λ+1

，-

3

λ+1

，

3

λ+1

），

NB

=（0，

3

，0），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面BMN的一個(gè)法向量，
則

-2λ λ+1 x- 3 λ+1 y+ 3 λ+1 z=0 3 y=0

，
取z=

3

，得

n

=（

3

2λ

，0，

3

），
又平面BCD的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，

3

），
∵二面角M-BN-D為60°，
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

3

9+12λ2 2λ × 3

=cos60°，
解得λ=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．