【題目】對于雙曲線:
(
),若點
滿足
,則稱
在
的外部;若點
滿足
,則稱
在
的內(nèi)部.
(1)證明:直線上的點都在
的外部.
(2)若點的坐標為
,點
在
的內(nèi)部或
上,求
的最小值.
(3)若過點
,圓
(
)在
內(nèi)部及
上的點構(gòu)成的圓弧長等于該圓周長的一半,求
、
滿足的關系式及
的取值范圍.
【答案】(1)見解析 (2) 最小值為.(3)
,
的取值范圍為
.
【解析】
(1)設直線上的點坐標為,代入雙曲線
方程檢驗;
(2)設點,由題設
.
,求得這個式子的最小值即可.
(3)由于圓和雙曲線
均關于坐標軸和原點對稱,所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及
、
軸正半軸的情況.圓與雙曲線的交點平分該圓在第一象限內(nèi)的圓弧,它們交點的坐標為
.代入雙曲線方程得
(*),雙曲線過點
,得
,消去
得
.
由得
的取值范圍.
(1)設直線上點的坐標為
,代入
,
得,
對于,
,因此,直線
上的點都在
的外部.
(2)設點的坐標為
,由題設
.
,由
,得
,
對于,有
,于是
,
因此,的最小值為
.
(3)因為圓和雙曲線
均關于坐標軸和原點對稱,所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及
、
軸正半軸的情況.
由題設,圓與雙曲線的交點平分該圓在第一象限內(nèi)的圓弧,它們交點的坐標為.…
將,
代入雙曲線
方程,得
(*),
又因為過點
,所以
,
將代入(*)式,得
.
由,解得
.因此,
的取值范圍為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于定義在上的函數(shù)
,有下述命題:①若
是奇函數(shù),則
的圖象關于點
對稱;②函數(shù)
的圖象關于直線
對稱,則
為偶函數(shù);③若對
,有
,則2是
的一個周期;④函數(shù)
與
的圖象關于直線
對稱.其中正確的命題是______.(寫出所有正確命題的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,傾斜角為
的直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標原點為極點,以
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程是
.
(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線經(jīng)過曲線
的焦點
且與曲線
相交于
兩點,設線段
的中點為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列與
滿足
,
.
(1)若,求數(shù)列
的通項公式;
(2)若,且數(shù)列
是公比等于2的等比數(shù)列,求
的值,使數(shù)列
也是等比數(shù)列;
(3)若,且
,數(shù)列
有最大值
與最小值
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(理)已知數(shù)列滿足
(
),首項
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前
項和
;
(3)數(shù)列滿足
,記數(shù)列
的前
項和為
,
是△ABC的內(nèi)角,若
對于任意
恒成立,求角
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用
萬元滿足
(其中
,
為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本
萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為
元
件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用
萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,該公司的利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電器專賣店銷售某種型號的空調(diào),記第天(
,
)的日銷售量為
(單位;臺).函數(shù)
圖象中的點分別在兩條直線上,如圖,該兩直線交點的橫坐標為
,已知
時,函數(shù)
.
(1)當時,求函數(shù)
的解析式;
(2)求的值及該店前
天此型號空調(diào)的銷售總量;
(3)按照經(jīng)驗判斷,當該店此型號空調(diào)的銷售總量達到或超過臺,且日銷售量仍持續(xù)增加時,該型號空調(diào)開始旺銷,問該店此型號空調(diào)銷售到第幾天時,才可被認為開始旺銷?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰梯形中,
,
,E為CD中點,將
沿AE折到
的位置.
(1)證明:;
(2)當折疊過程中所得四棱錐體積取最大值時,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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