Question

已知函數(shù)f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3，由正弦函數(shù)的周期公式可解得f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，從而解得2sin（2x+

π

6

）+3∈[2，5]，即可求出f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+2．
=

3

sin2x+cos2x+3
=2sin（2x+

π

6

）+3，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)+3…（4分）
∴由正弦函數(shù)的周期公式可得：T=

2π

2

=π； …（6分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]
∴解得：2sin（2x+

π

6

）+3∈[2，5]
∴當x=

π

6

時，f(x)max=5，
當x=-

π

6

時，f(x)min=2…（10分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基本知識的考查．