在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC=AB=
3
，BC=
6
，∠PBA=
π
3
，點D，E，F(xiàn)分別是PA、PB、PC上的點并且滿足PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
（Ⅰ）求證：AB⊥DF；
（Ⅱ）設平面ABC與平面AEF所成角為θ，求cosθ的值．
考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系
專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）證明AC⊥AB，PA⊥AB，可得AB⊥平面PAC，即可證明AB⊥DF；
（Ⅱ）以A為原點，AC，AB，AP分別為x，y，z軸建立坐標系，求出面AEF的法向量，即可求cosθ的值．
解答： （Ⅰ）證明：在三角形ABC中，AC=AB=
3
，BC=
6
，
∴AC2+AB2=BC2，
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，
∵PA∩AC=A，
∴AB⊥平面PAC，
∵DF?面PAC，
∴AB⊥DF；
（Ⅱ）解：∵AB=
3
，∠PBA=
π
3
，
∴PA=3，
∵PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
∴PD=PPF=1，PA=PB=PC=3，
以A為原點，AC，AB，AP分別為x，y，z軸建立坐標系，則A（0，0，0），C（
3
，0，0），B（0，
3
，0），E（0，
3
3
，2），F(xiàn)（
3
3
，0，2）
設平面AEF的法向量為
n
=（x，y，z），則
∵
AE
=（0，
3
3
，2），
AF
=（
3
3
，0，2）
∴
3
3
y+2z=0
3
3
x+2z=0
，∴
n
=（1，1，-
3
6
）．
∵DO⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量為
AP
=（0，0，3）
∵
n
•
AP
=-
3
2
，|
n
|=
5
3
6
，|
AP
|=3，平面ABC與平面AEF所成角為θ，
∴cosθ=|
3
2
5
3
6
•3
|=
1
5
．
點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查二面角的平面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
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3
2
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mn
）與f（
m+n
2
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1
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，e]的零點個數(shù)．

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π
6
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π
6
，
π
4
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2
，則PA與平面ABCD所成的角是（　�。�
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π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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OH
=
OA
+
OB
+
OC
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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